2020-2021年度高等代数A(下)冬季学期试卷

$$\begin{CD} F^n @>{P_{v'}^v}>> F^n \\ @V{\varphi_{v'}}VV @VV{\varphi_v}V \\ @. V \end{CD}$$

$$\begin{CD} F^n @>{P_{v'}^v}>> F^n \\ @V{\varphi_{v'}}VV @VV{\varphi_v}V \\ V @= V \end{CD}$$

Texer: 萌小小 Reviewer: C++

[[.\blogger.jpg]]

---

填空题（每空2分，共20分）

1. 代数学基本定理是 $\boxed{\text{每一个次数} \geq 1 \text{的复系数多项式在} \mathbb{C} \text{中都有根}}$。
2. 设 $A$ 是 2021 维欧式空间 $V$ 的一组基的度量矩阵，则 $A$ 的符号差为 $\boxed{2021}$，$A^*$ 的秩为 $\boxed{2021}$。
3. 复数域上不可约多项式的次数为 $\boxed{1}$，实数域上不可约多项式的次数为 $\boxed{1}$ 或 $\boxed{2}$。
4. 如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式 $(k \geq 1)$，那么它是微商 $f'(x)$ 的 $\boxed{k-1}$ 重因式。
5. 矩阵 $A$ 为欧式空间中由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵，则 $|A| = \boxed{\pm 1}$。
6. 全体 2021 阶复对称矩阵按合同共分为 $\boxed{2022}$ 类。
7. 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的 $\boxed{\text{维数相同}}$。
8. 同一线性变换在不同基下的矩阵的迹必 $\boxed{\text{相等}}$。

---

判断题（每题2分，共10分，正确的填T，错的填F）

1. 属于不同特征根的特征向量线性无关．                    (T)
2. 实对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件是 $A$ 的所有顺序主子式都小于0．      (F)
3. 任何有限维欧式空间都存在标准正交基．                   (T)
4. 实对称矩阵的特征值可以不是实数．                     (F)
5. 奇数次实系数多项式不一定有实根．                    (F)

---

计算题（共30分）

6. (10分) 设三维欧式空间 $V$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的度量矩阵为

$$T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \tag{6},$$

求 $V$ 的一组标准正交基（用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合）。

解： 对 $(T, I)$ 作合同变换，将 $T$ 化为单位矩阵 $I$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}.$$

可得变换矩阵

$$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

满足 $P^\top T P = I$。取新基 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)P$，即

$$\beta_1 = \alpha_1, \quad \beta_2 = -\alpha_1 + \alpha_2, \quad \beta_3 = \alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3.$$

此时 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 为标准正交基。

---

1. (10分) 求 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ 与 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ 的首项系数为 1 的最大公因式。

   解：

   1. （此处填写解答步骤）

---

2. (10分) 用正交线性变换化二次型为标准型：

$$f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1.$$

---

证明题（共40分）

3. (10分) 证明实数域上二次型规范形的唯一性。

4. (10分) 设 $\sigma, \tau \in L(\mathbb{C}^n)$ 且 $\sigma + \tau + \sigma\tau = 0$，求证： (1) 若 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的一个特征值，则 $V_\lambda$ 是 $\tau$ 的不变子空间； (2) $\sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量。

5. (10分) 设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间中一组基的度量矩阵，$B$ 为半正定矩阵。求证 $AB$ 的特征值全部是非负实数。

6. (10分) （题目待补充）