题目 1

对方程组 $\begin{cases} x^{\prime}=y-x-x^{2}\\ y^{\prime}=3x-y-x^{2}\end{cases}.$

1. 求出所有平衡点。
2. 判断所有平衡点的稳定性。若稳定，是否渐进稳定？

题目 2

讨论 $\begin{cases}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=y\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay-b\sin(x)\end{cases}$ 零解的稳定性。

题目 3

讨论 $\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-3y+x(x^{2}+y^{2})\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2x+y(x^{2}+y^{2})\end{cases}$ 零解的稳定性。

题目 4

判断 $\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-y^{2}+x(x^{2}+y^{2})\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-x^{2}-y^{2}(x^{2}-y^{2})\end{cases}$ 零解的稳定性。