一.判断题（10道题，一题2分）

1.$r=a \mathrm{e}^{\theta}$为阿基米德螺线。

2.数列必有无穷多项小于等于其上极限。

3.级数若绝对收敛，则必条件收敛。

4.$\psi$的读音是“佛爱 phi”。

5.无穷乘积收敛，则其通项极限为1.

6.若函数黎曼可积，则必有界。

二.计算题(4道，每题10分)

1.求$\mathrm{d} \omega.$(每题五分)

(1)$R \mathrm{d}x \mathrm{d}y+P \mathrm{d}y \mathrm{d}z+ Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x$ (2)$P \mathrm{d}x +Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z$

2.判断$Σ_{i=1}^{+∞}(1-x)x^{n}$在区间[0,1]的一致收敛性。

3.求$∬ _D \sqrt{\frac{1+x^2+y^2}{1-x^2-y^2}},$其中$D$为圆$x^2+y^2=1$在第一象限的部分。

4.求$∫ _0^{+∞}\frac{\sin x}{x}$.

三.证明题(4道，每题10分)

1.对任意在$[a,b]$上有界的函数$f(x),$恒有

$$\lim_{λ\to 0} \bar{S}(P)=L.$$

2.设$ψ(x)$在[0,$+∞$]上连续且单调，$\lim_{x \to ∞}ψ(x)=0,$证明

$$\lim_{p \to ∞}∫ _0^{+∞}ψ(x)\sin px \mathrm{d} x=0.$$

3.设函数$f$在$[a,b]$上单调上升且非负，函数$g(x)$在[a,b]上可积，则存在$c \in [a,b]$s.t.

$$∫ _a^bf(x)g(x) \mathrm{d}x=f(b)∫ _c^bg(x) \mathrm{d}x.$$

4.证明$\frac{x \mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$为某个二元函数的全微分，并求出所有的这种二元函数。