填空题（每空 2 分，共 20 分）

1. 代数学基本定理是 $\underline{\text{每一个次数} \geq 1 \text{的复系数多项式在} \mathbb{C} \text{中都有根}}$

2. 设 $A$ 是 2021 维欧式空间 $V$ 的一组基的度量矩阵，则 $A$ 的符号差为 $\underline{2021}$，$A^*$ 秩为 $\underline{2021}$

3. 复数域上不可约多项式的次数为 $\underline{1}$，实数域上不可约多项式的次数为 $\underline{1,2}$

4. 如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式 $(k \geq 1)$，那么它是微商 $f^\prime(x)$ 的 $\underline{k-1}$ 重因式

5. 矩阵 $A$ 为欧式空间中由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵，则 $|A|=\underline{\pm 1}$

6. 全体 2021 阶复对称矩阵按合同共分为 $\underline{2022}$ 类

7. 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的 $\underline{\text{维数相同}}$

8. 同一线性变换在不同基下的矩阵的迹必 $\underline{\text{相等}}$

判断题（每题 2 分，共 10 分，正确的填 T，错的填 F）

1. 属于不同特征根的特征向量线性无关 (T)

2. 实对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件是 $A$ 的所有顺序主子式都小于 0 (F)

3. 任何有限维欧式空间都存在标准正交基 (T)

4. 实对称矩阵的特征值可以不是实数 (F)

5. 奇数次实系数多项式不一定有实根 (F)

计算题（共 30 分）

1. (10 分) 设三维欧式空间 $V$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的度量矩阵是

   $$T=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array}\right)$$

   求 $V$ 的一组标准正交基（用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合）

   解： 对 $(T, I)$ 作系列合同变换，将 $T$ 化为单位矩阵 $I$，

   $$\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \rightarrow \cdots \rightarrow\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right]$$

   可以得到

   $$P=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

   则 $P^{\prime} T P=I$。取 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3)=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) P$，即

   $$\beta_1=\alpha_1,\beta_2=-\alpha_1+\alpha_2,\beta_3=\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3$$

   则内积在基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的度量矩阵为 $P^\prime TP=1$，所以 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 即为所求标准正交基。

2. (10 分) 求 $f(x)=x^4-4x^3+1$ 与 $g(x)=x^3-3x^2+1$ 的首项系数为 1 的最大公因式

   解： 1

3. (10 分) 求用正交线性变换化二次型为标准型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$

证明题（共 40 分）

1. (10 分) 证明实数域上二次型规范形的唯一性

2. (10 分) 设 $\sigma, \tau \in L(\mathbb{C}^n)$ 且 $\sigma+\tau+\sigma \tau=0$，求证：

   (1) 若 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的一个特征值，则 $V_\lambda$ 是 $\tau$ 的不变子空间

   (2) $\sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量

3. (10 分) 设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间中一组基的度量矩阵，$B$ 为半正定矩阵。求证 $AB$ 的特征值全部是非负实数

4. (10 分)