填空题（5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 设实对称矩阵 $A$ 的符号差是 3，秩是 5，则 $A$ 的负惯性指数是 $\underline{1}$.

2. 矩阵

$$A=\begin{pmatrix} k &1 &0\\ 1 &1 &0\\ 0 &0 &k+2 \end{pmatrix}$$

是正定矩阵的充要条件是 $k\underline{> 1}$.

3. 设 $U$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U=1$，则 $U$ 在 $V$ 中的正交补空间 $U^{\bot}$ 的维数 $\operatorname{dim} U^{\bot}=\underline{n-1}$.

4. 多项式 $x^3+3x^2-4$ 与 $x^3-3x+2$ 的首一的最大公因式为 $\underline{x^2+x-2}$.

5. 设复方阵 $A$ 可对角化，若 $f_A(\lambda)=\lambda^3 (\lambda-1)^2$, 则 $m_A(\lambda)=\underline{\lambda(\lambda-1)}$.

选择题（5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 设 $A$ 是 2 阶复方阵，则 $A$ 的特征多项式是 (B).

   A. $\lambda^2+(\operatorname{tr}(A))\lambda+\operatorname{det}(A)$

   B. $\lambda^2-(\operatorname{tr}(A))\lambda+\operatorname{det}(A)$

   C. $\lambda^2-(\operatorname{det}(A))\lambda+\operatorname{tr}(A)$

   D. $\lambda^2+(\operatorname{det}(A))\lambda+\operatorname{tr}(A)$

2. 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵则下列叙述中不能 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上可对角化的等价命题的是 (D).

   A. $A$ 的初等因子全是一次的

   B. $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

   C. $A$ 的所有特征子空间的维数之和为 $n$

   D. $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值

3. 下列关于 $n$ 阶（$n>1$）实对称矩阵的叙述中正确的是 (D).

   A. 不一定能对角化

   B. 特征值不一定是实数

   C. 特征多项式一定没有重根

   D. 两个实对称矩阵相似当且仅当它们正交相似

4. 下列多项式在 $\mathbb{Q}$ 上可约的是 (A).

   A. $x^3-6x^2+15x-14$

   B. $x^4-2x^3+8x-10$

   C. $x^4+x^3+x^2+x+1$

   D. $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$

5. 已知 $A$ 是三阶矩阵，且 $\operatorname{r}(A)=1$, 则 $\lambda=0$ (B).

   A. 必是 $A$ 的二重特征值

   B. 至少是 $A$ 的二重特征值

   C. 至多是 $A$ 的二重特征值

   D. 一重，二重，三重特征值都有可能

计算题

1. A=\begin{pmatrix} 1 &a &c\\ 0 &1 &b\\ 0 &0 &2

\end{pmatrix}$$, 求出 $A$ 的初等因子组.

2. $A$ 为三阶实对称矩阵，特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=-2$. $x_1=(1,-1,1)^T$ 为 $A$ 关于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记 $B=???$.

   (1) 验证 $x_1$ 为 $B$ 的特征向量并求 $B$ 的全部特征值和特征向量.

   (2) 求B.

3. (10 分) 设 $A$ 是四阶正交矩阵，且 $\operatorname{det}(A)=-1$. 写出 $A$ 在正交相似下所有可能的标准形.

证明题（3 题，共 40 分）

1. (10 分) 设 $f(x)$ 是次数大于 0 的整系数多项式，若 $2-\sqrt{3}$ 是 $f(x)$ 的根. 证明 $2+\sqrt{3}$ 也是 $f(x)$ 的根.

2. (15 分) 设 $V$ 是 $n$ 维欧式空间对给定的 $0 \not=\eta \in V,0\not=k \in \mathbb{R}$. 定义 $V$ 上的线性变换

   $$\tau(\alpha)=\alpha+k(\alpha,\eta)\eta,\quad \alpha \in V.$$

   证明:

   (1) $\tau$ 是对称变换.

   (2) $\tau$ 是正交变换当且仅当 $k=-\frac{2}{(\eta,\eta)}$; 称这个正交变换为镜面反射.

   (3) 设 $\beta,\gamma$ 是 $V$ 中两个不同的单位向量，证明存在非零向量 $\eta \in V$, 使得用 $\eta$ 定义的镜面反射 $\tau$ 能将 $\beta$ 映到 $\gamma$.

3. (15 分) 设 $A,B$ 是 $n$ 阶正定矩阵.

   (1) 举例说明 $AB$ 不一定是正定矩阵.

   (2) 求证：$AB$ 是正定矩阵当且仅当 $AB=BA$.