填空题

1. 多项式 $f(x)$ 除以 $ax-b(a\neq 0)$ 所得的余式是 ________。

2. $2x^{4}-x^{3}+2x-3=0$ 的所有有理根为 ________。

3. 二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},x_{2},x_{3})\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$ 的矩阵是 ________。

4. 矩阵 $\begin{pmatrix}0 & 0 & a_{3} \\ 1 & 0 & -a_{2} \\ 0 & 1 & -a_{1}\end{pmatrix}$ 的不变因子是 ________。

5. 设 $V$ 是三维欧氏空间，$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的标准正交基，如果 $\alpha_{1}=\varepsilon_{1}$，$\alpha_{2}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$，$\alpha_{3}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$，则基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 的度量矩阵为 $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$。

选择题

6. 数域 $P$ 上多项式 $f(x)$ 在 $P$ 上无重因式的()条件是 $(f(x),f'(x))=1$。

   A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 非充分非必要

7. 二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}$ 是 ( ) 二次型。

   A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定

8. $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$，在实数域 $\mathbb{R}$ 上与 $A$ 合同的矩阵为 ( )。

   A. $\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$ B. $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$ C. $\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}$

9. ( ) 不是 $\lambda$-矩阵的初等变换。

   A. 矩阵的某一行（列）乘非零常数 $c$ B. 矩阵的某一行（列）乘非零常数 $\frac{1}{c}$ C. 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 $\lambda$ 倍 D. 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 $\frac{1}{\lambda}$ 倍

10. 在 $\mathbb{R}^{4}$ 中, $\alpha=(2,1,3,2)$，$\beta=(1,2,x,1)$，$(\alpha,\beta)=0$，则 $x$ = ( )。

    A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

计算题

11. 用非退化线性替换化二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$ 为规范形，并求相应的线性替换和符号差。

12. 设 $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\alpha$ 是 $V$ 的非零向量，若向量组 $\alpha,T\alpha,\dots,T^{m-1}\alpha$ 线性无关。

    (1) 证明：子空间 $W=L(\alpha,T\alpha,\dots,T^{m-1}\alpha)$ 是 $T$ 的不变子空间。

    (2) 求 $T$ 在子空间 $W$ 的基 $\alpha,T\alpha,\dots,T^{m-1}\alpha$ 下的矩阵。

13. 求 $\begin{pmatrix}-1 & 2 & 6 \\ 1 & 7 & 25 \\ 0 & -2 & -7\end{pmatrix}$ 的 Jordan 标准型。

14. ...，求 $T^{-1}e^{i\pi A/2}T$。

证明题

15. 设 $f(x),g(x)\in P[x]$，$a,b,c,d \in P$，$f_{1}(x)=af(x)+bg(x)$，$g_{1}(x)=cf(x)+dg(x)$，$ad \neq bc$，$(f(x),g(x))=1$，证明：$(f_{1}(x),f_{1}(x)+g_{1}(x))=1$。

16. 设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 和 $\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{m}$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 中的两个向量组，证明存在一个正交变换 $T$ 使得 $T\alpha_{i}=\beta_{i}(1 \leq i \leq m)$ 的充要条件是 $(\alpha_{i},\alpha_{j})=(\beta_{i},\beta_{j})(1 \leq i,j \leq m)$。