填空

1. 求多项式

   $$f(x)=x^{4}+x^{3}-3x^{2}-4x-1 \quad \text{与} \quad g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$$

   的最大公因式。

2. 求

   $$x^{3}-6x^{2}+15x-14$$

   的有理根。

3. 写出二次型对应的矩阵。

4. 设 $A$ 为五阶方阵，其不变因子为

   $$1,\;1,\;1,\;(\lambda-2)^{2},\;(\lambda-3)(\lambda-1)^{2},$$

   求 $A$ 的 Jordan 标准型。

5. 对 $\alpha=(\alpha_{1},\beta_{1})$ 与 $\beta=(\alpha_{2},\beta_{2})$ 定义新的内积

   $$(\alpha,\beta)=2\alpha_{1}\alpha_{2}+4\beta_{1}\beta_{2},$$

   求$α=(1,1),β=(1,-1)$的度量矩阵。

选择 (共有 5 道题)

1. $p(x)$ 为 $f(x)$ 的重因式，同时是 $f'(x)$ 与 $f(x)$ 的公因式，其条件是 ______ 。

2. 2025 阶实对称矩阵按合同分类有多少种？

3. 求向量之间的夹角。

4. 判断矩阵是正定，负定，……。

5. （题目内容不全）

计算

1. 用非退化线性替换将二次型

   $$f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{4}x_{5}$$

   化为规范形，并求二次型的正惯性指数和符号差。

2. 求矩阵

   $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 3 \\ -2 & 6 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

   的 Jordan 标准型。

3. 设 $\varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的自同构，若 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，证明：$W$ 也是 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间。

4. （类似）求一正交相似变换矩阵，将矩阵

   $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

   化为对角矩阵。

证明

1. 设 $f_{1},f_{2},\dots,f_{2024},\; g_{1},g_{2},\dots,g_{2025} \in P[x]$，证明：

   $$(f_{1}f_{2}\dots f_{2024},\; g_{1}g_{2}\dots g_{2025})=1 \Leftrightarrow (f_{i},g_{j})=1,\quad i=1,2,\dots,2024;\ j=1,2,\dots,2025.$$

2. 证明：若变换 $T$ 保持内积，即满足

   $$(T\alpha, T\beta)=(\alpha,\beta),$$

   则 $T$ 为线性变换，从而为正交变换。