2024-2025 年度高等代数 A (下) 冬季学期试卷(回忆版)
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2025-03-12
填空
求多项式
f(x)=x4+x3−3x2−4x−1与g(x)=x3+x2−x−1
的最大公因式。
求
x3−6x2+15x−14
的有理根。
写出二次型对应的矩阵。
设 A 为五阶方阵,其不变因子为
1,1,1,(λ−2)2,(λ−3)(λ−1)2,
求 A 的 Jordan 标准型。
对 α=(α1,β1) 与 β=(α2,β2) 定义新的内积
(α,β)=2α1α2+4β1β2,
求α=(1,1),β=(1,−1)的度量矩阵。
选择 (共有 5 道题)
p(x) 为 f(x) 的重因式,同时是 f′(x) 与 f(x) 的公因式,其条件是 ______ 。
2025 阶实对称矩阵按合同分类有多少种?
求向量之间的夹角。
判断矩阵是正定,负定,……。
(题目内容不全)
计算
用非退化线性替换将二次型
f(x1,x2,x3,x4,x5)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x5
化为规范形,并求二次型的正惯性指数和符号差。
求矩阵
1−20−1−36−32001031338
的 Jordan 标准型。
设 φ 为 n 维线性空间 V 上的自同构,若 W 是 φ 的不变子空间,证明:W 也是 φ−1 的不变子空间。
(类似)求一正交相似变换矩阵,将矩阵
A=102030201
化为对角矩阵。
证明
设 f1,f2,…,f2024,g1,g2,…,g2025∈P[x],证明:
(f1f2…f2024,g1g2…g2025)=1⇔(fi,gj)=1,i=1,2,…,2024; j=1,2,…,2025.
证明:若变换 T 保持内积,即满足
(Tα,Tβ)=(α,β),
则 T 为线性变换,从而为正交变换。
