判断题(10道，每题2分)

1. 有上界的非空数集其上界集合必有最小值。(对)
2. 有理数和无理数一样多，交替出现。(错)
3. 若$a_n \le b_n \le c_n$,且$\{a_n\},\{c_n\}$均收敛，则$b_n$也收敛。(错)
4. $\sigma$的读音是delta. (错)
5. 函数在某一点处可微，则在各个方向上都有方向导数。 (对)
6. 闭区域一定为连通集。(对)
7. 一致连续函数必有界。 (错)
8. 拐点处可能存在极值。 (对)
9. 聚点一定不是外点。 (对)
10. 有界闭集覆盖$\Rightarrow$存在有限子覆盖。 (错)

计算题(2题，每题10分)

1. 设$y=(u+v,u-v,u^2v),x=(u,v)$求$\frac{dy}{dx}$.
2. 求椭圆 $x^2+3y^2=12$ 的内接等腰三角形, 其底边平行于椭圆的长轴, 而使面积最大.

证明题(6题，每题10分)

1. 证明:$\sqrt{2}+\sqrt{5}$不是有理数。

2. 证明:欧式空间中的紧集等价于有界闭集。

3. 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, 且满足 $f(x^2)=f(x), x \in(0,+\infty)$, 证明 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上为常数函数.

4. 证明:欧式空间中，定义域为紧集的连续函数为一致连续函数。

5. 已知 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=a, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n=b$, 证明:

   $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_n b_1}{n}=ab.$$

6. 证明:函数$f(x)=\sin(x^2)$在区间$[0,1]$上一致连续，在$\mathbb{R}$上不一致连续。