2024-2025年度数学分析(上)秋季学期试卷(回忆版)
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2025-03-12
判断题(10道,每题2分)
- 有上界的非空数集其上界集合必有最小值。(对)
- 有理数和无理数一样多,交替出现。(错)
- 若an≤bn≤cn,且{an},{cn}均收敛,则bn也收敛。(错)
- σ的读音是delta. (错)
- 函数在某一点处可微,则在各个方向上都有方向导数。 (对)
- 闭区域一定为连通集。(对)
- 一致连续函数必有界。 (错)
- 拐点处可能存在极值。 (对)
- 聚点一定不是外点。 (对)
- 有界闭集覆盖⇒存在有限子覆盖。 (错)
计算题(2题,每题10分)
- 设y=(u+v,u−v,u2v),x=(u,v)求dxdy.
- 求椭圆 x2+3y2=12 的内接等腰三角形, 其底边平行于椭圆的长轴, 而使面积最大.
证明题(6题,每题10分)
证明:2+5不是有理数。
证明:欧式空间中的紧集等价于有界闭集。
设 f(x) 在 (0,+∞) 上连续, 且满足 f(x2)=f(x),x∈(0,+∞), 证明 f(x) 在 (0,+∞) 上为常数函数.
证明:欧式空间中,定义域为紧集的连续函数为一致连续函数。
已知 limn→∞an=a,limn→∞bn=b, 证明:
n→∞limna1bn+a2bn−1+⋯+anb1=ab.
证明:函数f(x)=sin(x2)在区间[0,1]上一致连续,在R上不一致连续。
