题目 1

给定平面多边形，其顶点为 $P_{1}(1,2)$, $P_{2}(3,1)$, $P_{3}(7,0)$, $P_{4}(8,2)$, $P_{5}(6,3)$, $P_{6}(7,4)$, $P_{7}(5,5)$. 求多边形面积.

解答：

$$\begin{align*} A_{P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7} &=\sum_{cyc} (S_{\triangle P_1P_2P_3}) \\ &= \sum_{cyc} (\frac{1}{2}(\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_3} )) \\ &= |\sum_{cyc} (\frac{1}{2}(x_1y_2-x_2y_1))| \\ &= \frac{1}{2}|(1 \times 1 - 2 \times 3) + (3 \times 0 - 1 \times 7) + \dots + (5 \times 2 - 2 \times 5)| \\ &= \frac{37}{2}. \end{align*}$$

题目 2

求 $\overrightarrow{v}=(1,2,3)$ 到 $\overrightarrow{u}=(3,6,-1)$ 的投影长度、外投影向量、内投影向量.

解答： 投影长度: $\displaystyle \operatorname{Comp}_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{v} = |\frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}}| = |\frac{1 \times 3 + 2 \times 6 + 3 \times (-1)}{\sqrt{3^2+6^2+(-1)^2}} |= 6 \sqrt{\frac{2}{23}}$.

内投影向量: $\overrightarrow{w}=\operatorname{Proj}_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{v} = \displaystyle \operatorname{Comp}_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{v} \cdot \frac{\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|} = 6 \sqrt{\frac{2}{23}} \cdot \frac{(3,6,-1)}{\sqrt{3^2+6^2+(-1)^2}}= (\frac{18}{23},\frac{36}{23},\frac{-6}{23})$.

外投影向量: $\displaystyle \overrightarrow{p}= \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = (\frac{5}{23},\frac{10}{23},\frac{75}{23})$.

题目 3

给定空间三点 $P(1,2,1)$, $Q(2,4,-1)$ 和 $R(5,6,-3)$. (1) 求 $\triangle PQR$ 面积; (2) 求包含 $\triangle PQR$ 的平面的法向量; (3) 给出含 $P, Q, R$ 三点的平面方程.

解答： (1) $\displaystyle A= \frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}|= \frac{1}{2}|(1,2,-2) \times (4,4,-3)| = 2\sqrt{2}$.

(2) $\overrightarrow{n}= \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \det \begin{bmatrix} i &j &k \\ 1 &2 &-2 \\ 4 &4 &-4 \end{bmatrix} = (0,-4,-4)$.

(3) $\pi: -4(y-2)-4(z-1)=0 \Leftrightarrow y+z=3$.

题目 4

给定空间四点 $P(1,2,0)$, $Q(2,4,-1)$, $R(5,6,-3)$ 和 $S(1,1,1)$. (1) 求以 $P, Q, R$ 和 $S$ 为顶点的平行六面体体积. (2) 求平行六面体相对于包含 $\triangle PQR$ 的底面的高.

解答： (1) $\displaystyle V = (\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}) =\left| \det \begin{bmatrix} 1 &2 &-1 \\ 4 &4 &-3 \\ 0 &-1 &1 \end{bmatrix} \right |= 3$.

(2) $\displaystyle h = \frac{V}{|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}|} = \frac{3}{|(1,2,-1) \times (4,4,-3)} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

题目 5

给定向量 $\overrightarrow{u}=(1,1,1)^{T}$, $\overrightarrow{v}=(1,-1,1)^{T}$, $\overrightarrow{w}=(3,5,7)^{T}$： (1) 给出包含 $\overrightarrow{u}$ 和 $\overrightarrow{v}$ 的子空间 $W=\operatorname{span}\left\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right\}$ 的表达式. (2) 给出 $\overrightarrow{w}$ 向 $W$ 投影的正规方程, 求投影矩阵 $R$，并求 $\operatorname{Proj}_{W} \overrightarrow{w};$ (3) 求 $\overrightarrow{w}$ 关于 $W$ 的外投影 (向量).

解答： (1) $W=\{\lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v};\lambda,\mu \in \mathbb{R}\}=(\lambda+\mu,\lambda - \mu, \lambda + \mu)$.

(2) 正规方程:

$$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &-1 &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 &-1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &-1 &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ 7 \end{bmatrix}$$

投影矩阵: $\displaystyle R=A (A'A)^{-1}A'=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 &-1 \\ 1 &1 \end{bmatrix} \cdot (\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &-1 &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 &-1 \\ 1 &1 \end{bmatrix})^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &-1 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

$\operatorname{Proj}_{W} \overrightarrow{w} = R \cdot \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\5\\7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5\\5\\5 \end{bmatrix}$.

(3) 外投影: $\overrightarrow{w}-\operatorname{Proj}_{W} \overrightarrow{w}=\begin{bmatrix} -2\\0\\2 \end{bmatrix}$.