设曲面 S 由 (rcos(θ),rsin(θ),2θ), 其中 0≤r≤4,0≤θ≤2π.
(1) 求曲面 S 在点 (2,−2,27π) 处的切平面方程 TpS;
(2) 求曲面 S 的面积元 dA;
(3) 设曲线 γ:(2cos(θ),2sin(θ),2θ), 求该曲线在 θ=47π 处的点 P0 的曲率 k 和挠率 τ;
(4) 求曲面在 P0 处的法曲率 kn.
解答:
(1) r=(rcos(θ),rsin(θ),2θ), 求导有
rr=cos(θ)sin(θ)0,rθ=−rsin(θ)rcos(θ)2.
因此 S 在点 (2,−2,27π), 即 r(2,47π) 处的切平面方程为
0=detx−2222y+2−222z−27π02,
即 2x+2y−2z+7π=0.
(2) $$\mathrm{d}A=|\overrightarrow{r}r \times \overrightarrow{r}\theta | \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta=\sqrt{r ^2+4 }\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta $$.
(3) r′=(−2sin(θ),2cos(θ),2),r′′=(−2cos(θ),−2sin(θ),0),r′′′=(2sin(θ),−2cos(θ),0), 故
k=∣r′∣3∣r′×r′′∣=41,τ=∣r′×r′′∣2∣(r′,r′′,r′′′)∣=41.
(4)
n=∣rr×rθ∣rr×rθ=(r2+42sin(θ),−r2+42cos(θ),r2+4r),nr=(−(r2+4)232rsin(θ),(r2+4)232rcos(θ),(r2+4)234),nθ=(r2+42cos(θ),r2+42sin(θ),0).
Mp=−[uv][rr⋅nrrθ⋅nrrr⋅nθrθ⋅nθ][uv]=−r2+44uv.
Dp=[uv][rr⋅rrrθ⋅rrrr⋅rθrθ⋅rθ][uv]=(r2+4)v2+u2.
kn=DpMp=−r2+4((r2+4)v2+u2)4uv.
代入 r=2,θ=47π,有
kn=−u2+8v22uv.
求准线为{z=x2+y2x=−1,母线RV的柱面方程,其中V=(1,1,1).
解答:
⎩⎨⎧1x−a=1y−b=1z−cc=a2+b2a=−1⇒z=1+x+1+(y−x−1)2
曲面方程由 x4+y4+3x2z2+7xy2z+2yz3=0 给出,判断曲面的形状;并证明曲面是直纹面.
解答: 因为 F(tx,ty,tz)=t4F(x,y,z), 因此该方程为齐次方程,由 Theorem 4.6 知其为锥面,又由直纹面定义可知,锥面为直纹面,因此该曲面的形状为锥面,且为直纹面。