题目 1

设曲面 $S$ 由 $(r\cos (\theta),r \sin (\theta), 2 \theta)$, 其中 $0 \le r \le 4,0 \le \theta \le 2 \pi$.

(1) 求曲面 $S$ 在点 $\displaystyle (\sqrt{2},-\sqrt{2},\frac{7 \pi}{2})$ 处的切平面方程 $T_pS$;

(2) 求曲面 $S$ 的面积元 $\mathrm{d}A$;

(3) 设曲线 $\gamma:(2 \cos (\theta), 2 \sin (\theta), 2 \theta)$, 求该曲线在 $\displaystyle \theta= \frac{7 \pi}{4}$ 处的点 $P_0$ 的曲率 $k$ 和挠率 $\tau$;

(4) 求曲面在 $P_0$ 处的法曲率 $k_n$.

解答：

(1) $\overrightarrow{r}=(r\cos (\theta),r \sin (\theta), 2 \theta)$, 求导有

$$\begin{align*} \overrightarrow{r}_r=\begin{bmatrix} \cos(\theta)\\ \sin(\theta)\\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{r}_\theta=\begin{bmatrix} -r\sin(\theta)\\ r\cos(\theta)\\ 2 \end{bmatrix}. \end{align*}$$

因此 $S$ 在点 $\displaystyle (\sqrt{2},-\sqrt{2},\frac{7 \pi}{2})$, 即 $\displaystyle \overrightarrow{r}(2,\frac{7 \pi}{4})$ 处的切平面方程为

$$\begin{align*} 0=\det \begin{bmatrix} \displaystyle x-\sqrt{2} &y+\sqrt{2} &z-\frac{7 \pi}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} &-\frac{\sqrt{2}}{2} &0 \\ \sqrt{2} &\sqrt{2} &2 \end{bmatrix}, \end{align*}$$

即 $\sqrt{2} x+\sqrt{2} y-2 z+7 \pi =0$.

(2) $$\mathrm{d}A=|\overrightarrow{r}r \times \overrightarrow{r}\theta | \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta=\sqrt{r ^2+4 }\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta $$.

(3) $\overrightarrow{r}'=(-2 \sin(\theta),2\cos(\theta),2),\overrightarrow{r}''=(-2\cos(\theta),-2\sin(\theta),0),\overrightarrow{r}'''=(2\sin(\theta),-2\cos(\theta),0)$, 故

$$\begin{align*} k=\frac{|\overrightarrow{r}' \times \overrightarrow{r}''|}{|\overrightarrow{r}'|^3}= \frac{1}{4},\\ \tau=\frac{|(\overrightarrow{r}',\overrightarrow{r}'',\overrightarrow{r}''')|}{|\overrightarrow{r}' \times \overrightarrow{r}''|^2}=\frac{1}{4}. \end{align*}$$

(4)

$$\begin{gather*} \overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{r}_r \times \overrightarrow{r}_\theta}{|\overrightarrow{r}_r \times \overrightarrow{r}_\theta|}=(\frac{2\sin(\theta)}{\sqrt{r^2+4}},-\frac{2\cos(\theta)}{\sqrt{r^2+4}},\frac{r}{\sqrt{r^2+4}}), \\ \overrightarrow{n}_r=(-\frac{2r\sin(\theta)}{(r^2+4)^{\frac{3}{2}}},\frac{2r\cos(\theta)}{(r^2+4)^{\frac{3}{2}}},\frac{4}{(r^2+4)^{\frac{3}{2}}}), \\ \overrightarrow{n}_\theta=(\frac{2\cos(\theta)}{\sqrt{r^2+4}},\frac{2\sin(\theta)}{\sqrt{r^2+4}},0). \end{gather*}$$

$$\begin{align*} M_p &= -\begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overrightarrow{r}_r \cdot \overrightarrow{n}_r &\overrightarrow{r}_r \cdot \overrightarrow{n}_\theta \\ \overrightarrow{r}_\theta \cdot \overrightarrow{n}_r &\overrightarrow{r}_\theta \cdot \overrightarrow{n}_\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\\ &= -\frac{4 u v}{\sqrt{r^2+4}}. \end{align*}$$

$$\begin{align*} D_p &= \begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overrightarrow{r}_r \cdot \overrightarrow{r}_r &\overrightarrow{r}_r \cdot \overrightarrow{r}_\theta \\ \overrightarrow{r}_\theta \cdot \overrightarrow{r}_r &\overrightarrow{r}_\theta \cdot \overrightarrow{r}_\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\\ &= \left(r^2+4\right) v^2+u^2. \end{align*}$$

$$\begin{align*} k_n &=\frac{M_p}{D_p} \\ &= -\frac{4 u v}{\sqrt{r^2+4} \left(\left(r^2+4\right) v^2+u^2\right)}. \end{align*}$$

代入 $r=2,\theta=\displaystyle \frac{7\pi}{4}$,有

$$\begin{align*} k_n =-\frac{\sqrt{2} u v}{u^2+8 v^2}. \end{align*}$$

题目 2

求准线为$\begin{cases} z=\sqrt{x^2+y^2} \\ x=-1 \end{cases}$,母线$\mathbb{R} \overrightarrow{V}$的柱面方程，其中$\overrightarrow{V}=(1,1,1)$.

解答：

$$\begin{cases} \frac{x-a}{1}=\frac{y-b}{1}=\frac{z-c}{1} \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ a=-1 \end{cases} \Rightarrow z=1+x+\sqrt{1+(y-x-1)^2}$$

题目 3

曲面方程由 $x^4+y^4+3x^2z^2+7xy^2z+2yz^3=0$ 给出，判断曲面的形状；并证明曲面是直纹面.

解答： 因为 $F(tx,ty,tz)=t^4F(x,y,z)$, 因此该方程为齐次方程，由 Theorem 4.6 知其为锥面，又由直纹面定义可知，锥面为直纹面，因此该曲面的形状为锥面，且为直纹面。