题目 1

求准线为$\begin{cases} z=\sqrt{x^2+y^2}\\ z=y+1\\ \end{cases}$，顶点为$ (1,0,0)$的锥面方程.

解答：

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{x_1-1}=\frac{y}{y_1}=\frac{z}{z_1}\\ z_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\\ z_1=y_1+1 \end{cases} \Rightarrow \Gamma:x^2+2y^2-2xy-2yz+2zx-2x+2y-2z+1=0.$$

题目 2

设曲线 $\Gamma:4x^2-4xy+y^2-6x-8y+3=0$.

(1) 判别曲线是否是有心曲线，并给出理由.

(2) 求出曲线 $\Gamma$ 的渐近方向，是否有渐近线？

(3) 求主直径与主方向.

(4) 化简曲线，并判断其类型.

解答：

(1) $I_2=|A|=\det \begin{bmatrix} 4 &-2\\ -2 &1 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow \Gamma$不是有心曲线.

(2) $$\mathbf{v}^\prime A \mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}\Rightarrow $$ 渐近方向: $$ \mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}$$.

因为 $\Gamma$ 为无心曲线，因此 $\Gamma$ 无渐近线.

(3) $$(A-\lambda I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1\ 2 \end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} -2\1 \end{bmatrix} \Rightarrow \Gamma $$ 的主方向:

$$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} -2\\1 \end{bmatrix}.$$

$\mathbf{v}^\prime(A\mathbf{x}+\mathbf{b})=0 \Rightarrow$ 主直径: $l :-10x+5y+2=0$.

(4) 做转轴变换:$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} &-\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}} &\frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\y_1 \end{bmatrix}$, 有:

$$\Gamma=\Gamma_1:5\sqrt{5}y_1^2-22x_1+4y_1+3=0,$$

做移轴变换$\begin{cases} x_1=x_2+\frac{71}{110\sqrt{5}}\\ y_1=y_2-\frac{2}{5\sqrt{5}} \end{cases}$, 有

$$\displaystyle \Gamma_1=\Gamma_2:y_2^2=\frac{22}{5\sqrt{5}}x_2,$$

为抛物线.

题目 3

设曲面为 $5x^2-16y^2+5z^2+8xy-14xz+8yz+4x+20y+12z=24$.

(1) 求过点 $\displaystyle (0,0,\frac{2\sqrt{39}-6}{5})$ 的切平面.

(2) 求主径面与主方向.

(3) 化简曲面方程，并判断其类型.

解答：

$A=\begin{bmatrix} 5 &4 &-7\\ 4 &-16 &4\\ -7 &4 &5 \end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 2\\10\\6 \end{bmatrix},\mathbf{x_0}=\begin{bmatrix} 0\\0\\ \displaystyle \frac{2\sqrt{39}-6}{5} \end{bmatrix}, (A\mathbf{x_0}+\mathbf{b})^\prime (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})=0 \Rightarrow$

切平面: $\pi:(-26+7 \sqrt{39}) x-(13+4 \sqrt{39}) y-5 \sqrt{39} z+78-6 \sqrt{39}=0.$

(2) $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow$ 主方向: $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 2\\1\\2 \end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix},\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix} 1\\-4\\1 \end{bmatrix}.$

$(A\mathbf{x}+\mathbf{b})^\prime \mathbf{v}=0 \Rightarrow$ 主径面: $\pi_1:-3x+3z+1=0,\pi_2:9x-36y+9z+16=0.$

(3) 做转轴变换$\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} &-\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{3\sqrt{2}}\\ \frac{1}{3} &0 &-\frac{4}{3\sqrt{2}}\\ \frac{2}{3} &\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{3\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{bmatrix}$, 有

$$\Gamma=\Gamma_1:18 y^2-27 z^2+26 x+6 \sqrt{2} y-16 \sqrt{2} z -36=0.$$

做移轴变换$\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_2+\frac{67}{54}\\y_2-\frac{\sqrt{2}}{6}\\z_2-\frac{8\sqrt{2}}{27} \end{bmatrix}$，有

$$\Gamma_1=\Gamma_2:26 x_2+18 y_2^2-27 z_2^2=0,$$

为双曲抛物面.