求准线为{z=x2+y2z=y+1,顶点为$ (1,0,0)$的锥面方程.
解答:
⎩⎨⎧x1−1x−1=y1y=z1zz1=x12+y12z1=y1+1⇒Γ:x2+2y2−2xy−2yz+2zx−2x+2y−2z+1=0.
设曲线 Γ:4x2−4xy+y2−6x−8y+3=0.
(1) 判别曲线是否是有心曲线,并给出理由.
(2) 求出曲线 Γ 的渐近方向,是否有渐近线?
(3) 求主直径与主方向.
(4) 化简曲线,并判断其类型.
解答:
(1) I2=∣A∣=det[4−2−21]=0⇒Γ不是有心曲线.
(2) $$\mathbf{v}^\prime A \mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}\Rightarrow $$ 渐近方向: $$ \mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}$$.
因为 Γ 为无心曲线,因此 Γ 无渐近线.
(3) $$(A-\lambda I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1\ 2 \end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} -2\1 \end{bmatrix} \Rightarrow \Gamma $$ 的主方向:
v1=[12],v2=[−21].
v′(Ax+b)=0⇒ 主直径: l:−10x+5y+2=0.
(4) 做转轴变换:[xy]=[5152−5251][x1y1], 有:
Γ=Γ1:55y12−22x1+4y1+3=0,
做移轴变换{x1=x2+110571y1=y2−552, 有
Γ1=Γ2:y22=5522x2,
为抛物线.
设曲面为 5x2−16y2+5z2+8xy−14xz+8yz+4x+20y+12z=24.
(1) 求过点 (0,0,5239−6) 的切平面.
(2) 求主径面与主方向.
(3) 化简曲面方程,并判断其类型.
解答:
A=54−74−164−745,b=2106,x0=005239−6,(Ax0+b)′(x−x0)=0⇒
切平面: π:(−26+739)x−(13+439)y−539z+78−639=0.
(2) (A−λI)v=0⇒ 主方向: v1=212,v2=−101,v3=1−41.
(Ax+b)′v=0⇒ 主径面: π1:−3x+3z+1=0,π2:9x−36y+9z+16=0.
(3) 做转轴变换xyz=323132−21021321−324321x1y1z1, 有
Γ=Γ1:18y2−27z2+26x+62y−162z−36=0.
做移轴变换x1y1z1=x2+5467y2−62z2−2782,有
Γ1=Γ2:26x2+18y22−27z22=0,
为双曲抛物面.