2022-2023 年度空间解析几何秋季学期试卷
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2025-03-12
题目 1
(20 分) 已知空间中的四个点 P(1,2,0), Q(2,4,−1), R(5,6,−3), 以及 S(1,1,1).
(i) 求四个点张出的平行六面体的体积.
(ii) 用 Π1 表示包含点 P, Q 以及 R 的平面,用 Π2 表示包含点 P, Q 以及 S 的平面. 求 Π1 与 Π2 的夹角.
(iii) 求点 S 到平面 Π1 的距离.
(iv) 求点 S 关于 Π1 的反射点.
题目 2
(20 分) 曲面 S 由 (rcosθ,rsinθ,2θ)(0≤r≤4,0≤θ≤2π,b=2).
(a) 求曲面在 (2,−2,27π) 处的切平面方程 TP0(S).
(b) 求曲面的面积元 dA.
(c) 设曲线 γ:(2cosθ,2sinθ,2θ), 求曲线在 θ=47π 处的点 P0 的曲率 k 以及挠率 τ.
(d) 求曲面在 P0 处的法曲率 kn.
题目 3
(20 分)
(i) 求准线为
{zx=x2+y2=−1
母线为 Rv 的柱面方程,其中 v=(1,1,1).
(ii) 曲面方程由 x4+y4+3x2z2+7xy2z+2yz3=0 给出. 判断曲面的形状并证明曲面为直纹面.
题目 4
(20 分) 设平面曲线由
F(x,y)=3x2+4xy+y2+2x+4y+6=0
给出.
(i) 求曲线的渐近方向与中心.
(ii) 求共轭于 (1,1) 的直径方程.
(iii) 求过点 (1,−2) 的切线方程.
(iv) 化简曲线为标准形式.
题目 5
(20 分) 设空间曲面 S 的方程为
2x2+10y2−z2+12xy+8yz+12x+4y+8z−1=0
(i) 求曲面的奇向.
(ii) 求曲面上点 (0,0,4+15) 处的切平面方程.
(iii) 求曲面的主方向与主径面.
(iv) 化简曲面方程。
