题目 1

(20 分) 已知空间中的四个点 $P(1,2,0)$, $Q(2,4,-1)$, $R(5,6,-3)$, 以及 $S(1,1,1)$.

(i) 求四个点张出的平行六面体的体积.

(ii) 用 $\Pi_1$ 表示包含点 $P$, $Q$ 以及 $R$ 的平面，用 $\Pi_2$ 表示包含点 $P$, $Q$ 以及 $S$ 的平面. 求 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的夹角.

(iii) 求点 $S$ 到平面 $\Pi_{1}$ 的距离.

(iv) 求点 $S$ 关于 $\Pi_{1}$ 的反射点.

题目 2

(20 分) 曲面 $S$ 由 $(r\cos\theta,r\sin\theta,2\theta)(0\leq r\leq4,0\leq\theta\leq 2\pi, b= 2)$.

(a) 求曲面在 $\displaystyle (\sqrt2,-\sqrt2,\frac72\pi)$ 处的切平面方程 $T_{P_0}(S)$.

(b) 求曲面的面积元 $\mathrm{d}A$.

(c) 设曲线 $\gamma:\left(2\cos\theta,2\sin\theta,2\theta\right)$, 求曲线在 $\displaystyle \theta=\frac74\pi$ 处的点 $P_0$ 的曲率 $\mathfrak{k}$ 以及挠率 $\tau$.

(d) 求曲面在 $P_0$ 处的法曲率 $\mathfrak{k}_n$.

题目 3

(20 分)

(i) 求准线为

$$\begin{cases} z&=\sqrt{x^2+y^2}\\ x&=-1 \end{cases}$$

母线为 $\mathbb{R} \mathbf{v}$ 的柱面方程，其中 $\mathbf{v}=(1,1,1)$.

(ii) 曲面方程由 $x^4+y^4+3x^2z^2+7xy^2z+2yz^3=0$ 给出. 判断曲面的形状并证明曲面为直纹面.

题目 4

(20 分) 设平面曲线由

$$F(x,y)=3x^2+4xy+y^2+2x+4y+6=0$$

给出.

(i) 求曲线的渐近方向与中心.

(ii) 求共轭于 $(1,1)$ 的直径方程.

(iii) 求过点 $(1,-2)$ 的切线方程.

(iv) 化简曲线为标准形式.

题目 5

(20 分) 设空间曲面 $S$ 的方程为

$$2x^{2}+10y^{2}-z^{2}+12xy+8yz+12x+4y+8z-1=0$$

(i) 求曲面的奇向.

(ii) 求曲面上点 $(0,0,4+\sqrt{15})$ 处的切平面方程.

(iii) 求曲面的主方向与主径面.

(iv) 化简曲面方程。