一、行列式部分

习题 1

计算下述 $n$ 阶行列式:

$$\left|\begin{array}{ccccc} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right|$$

解答：此行列式的每一行有 $n-1$ 个元素为 0，因此在它的完全展开式中，可能不为 0 的项只有一项，从而这个行列式的值为

$$(-1)^{r(23 \cdots n 1)} a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n=(-1)^{n-1} a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n$$

习题 2

计算下述 $n$ 阶行列式：

$$\left|\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 0 & \cdots & a_2 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{n-1} & \cdots & 0 & 0 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right|$$

解答：

$$\begin{aligned} \text{原式} &=(-1)^{r(n(n-1) \cdots 21)} a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n \\ &=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n \end{aligned}$$

习题 3

计算 $n$ 阶行列式 $(n \geq 2)$:

$$\left|\begin{array}{ccccc} x_1-a_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2-a_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3-a_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n-a_n \end{array}\right|$$

其中 $a_i \neq 0, i=1,2, \cdots, n$。

解答：先把第 1 行的 $(-1)$ 倍分别加到第 $2,3,\cdots,n$ 行上，然后各列分别提出公因子 $a_1,a_2,\cdots,a_n$；

$$\begin{aligned} \text{原式} &=\left|\begin{array}{ccccc} x_1-a_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ a_1 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{array}\right| \\ &=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n\left|\begin{array}{ccccc} \frac{x_1}{a_1}-1 & \frac{x_2}{a_2} & \frac{x_3}{a_3} & \cdots & \frac{x_n}{a_n} \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{array}\right| \\ &=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n\left|\begin{array}{ccccc} \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{a_i}-1 & \frac{x_2}{a_2} & \frac{x_3}{a_3} & \cdots & \frac{x_n}{a_n} \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{array}\right| \\ &=(-1)^{n-1} a_1 a_2 a_3 \cdots a_n\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{a_i}-1\right) \end{aligned}$$

习题 4

计算实数域上 $n$ 阶三对角线行列式:

$$D_n=\left|\begin{array}{cccccccc} a & b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ c & a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & a & b & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & c & a & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c & a \end{array}\right|$$

解答：

$$D_n= \begin{cases} \displaystyle \frac{\alpha_1^{n+1}-\beta_1^{n+1}}{\alpha_1-\beta_1}, & \text{当} a^2 \neq 4bc, \\ \displaystyle (n+1) \frac{a^n}{2^n}, & \text{当} a^2=4bc, \end{cases}$$

其中 $\alpha_1, \beta_1$ 是方程 $x^2-ax+bc=0$ 的两个根。

习题 5

求

$$\begin{vmatrix} \lambda &0 &0 &\dots &0 &a_n\\ -1 &\lambda &0 &\dots &0 &a_{n-1}\\ 0 &-1 &\lambda &\dots &0 &a_{n-2}\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\ 0 &0 &0 &\dots &\lambda &a_2\\ 0 &0 &0 &\dots &-1 &\lambda +a_1 \end{vmatrix}$$

解答：（未提供解答）

习题 6

求 $n$ 阶行列式

$$\begin{vmatrix} x &a &a &\dots &a\\ a &x &a &\dots &a\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ a &a &a &\dots &x \end{vmatrix}$$

解答：（未提供解答）

习题 7

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵，求证:

$$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A} \end{array}\right|=|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}||\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}|$$

证明：将分块矩阵的第二行加到第一行上，再将第二列减去第一列，可得

$$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc} A+B & A+B \\ B & A \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc} A+B & O \\ B & A-B \end{array}\right)$$

第三类分块初等变换不改变行列式的值，因此可得

$$\left|\begin{array}{ll} A & B \\ B & A \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} A+B & O \\ B & A-B \end{array}\right|=|A+B||A-B|$$

习题 8

设 $A,B,C,D \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 且 $A$ 可逆，若 $AC=CA$，证明：

$$\begin{vmatrix} A &B\\C &D \end{vmatrix}=|AD-CB|$$

证明：（未提供解答）

二、矩阵部分

习题 9

计算 $A^m$，其中 $m$ 是正整数，且

$$A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array}\right)$$

解答：

$$A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=2I+3B$$

其中 $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$。 直接计算得，

$$B^2=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$$

由于 $(2I)(3B)=(3B)(2I)$，因此由二项式定理得

$$\begin{aligned} A^m &=(2I+3B)^m=(2I)^m+C_m^1(2I)^{m-1}(3B)=2^mI+2^{m-1} \cdot 3mB \\ &=\left(\begin{array}{cc} 2^m & 2^{m-1} \cdot 3m \\ 0 & 2^m \end{array}\right) \end{aligned}$$

习题 10

计算 $A^k$，其中 $$A=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$。

解答：归纳证明

$$A^k=\begin{pmatrix}\cos k\theta&-\sin k\theta\\\sin k\theta&\cos k\theta\end{pmatrix}$$

当 $k=1$ 时，根据条件即得。假设当 $k$ 时结论成立，则当 $k+1$ 时，

$$\begin{aligned} A^{k+1}=A^k\cdot A&=\begin{pmatrix}\cos k\theta&-\sin k\theta\\\sin k\theta&\cos k\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\cos(k+1)\theta&-\sin(k+1)\theta\\\sin(k+1)\theta&\cos(k+1)\theta\end{pmatrix} \end{aligned}$$

这就证明了结论。

习题 11

求下述 $n$ 级矩阵 $A$ 的逆矩阵 $(n \geqslant 2)$:

$$A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \end{array}\right)$$

解答 (方法一)：设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,\cdots,1)^{\prime}$，则 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$。设 $\boldsymbol{B}=c\boldsymbol{I}_n+d\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$，则通过简单的计算可知 $\boldsymbol{AB}=-c\boldsymbol{I}_n+(c+(n-1)d)\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$。令 $c=-1, c+(n-1)d=0$，则 $d=\frac{1}{n-1}$，于是 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{I}_n$，从而 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{I}_n+\frac{1}{n-1}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$。

解答 (方法二)：取 $n \times 2n$ 矩阵

$$B=\left(\begin{array}{ccccc:ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$$

把矩阵 $B$ 的第 $2,3,\ldots,n$ 行都加到第 1 行，矩阵 $B$ 化为

$$B_1=\left(\begin{array}{ccccc:ccccc} n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$$

用 $\frac{-1}{n-1}$ 遍乘矩阵 $B_1$ 的第 1 行，然后分别加到第 $2,3,\ldots,n$ 行，矩阵 $B_1$ 化为

$$B_2=\left(\begin{array}{ccccc:ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \cdots & \frac{1}{n-1} \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{n-1} & \frac{n-2}{n-1} & -\frac{1}{n-1} & \cdots & -\frac{1}{n-1} \\ 0 & 0 & -1 & \cdots & 0 & -\frac{1}{n-1} & -\frac{1}{n-1} & \frac{n-2}{n-1} & \cdots & -\frac{1}{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & -\frac{1}{n-1} & -\frac{1}{n-1} & -\frac{1}{n-1} & \cdots & \frac{n-2}{n-1} \end{array}\right)$$

矩阵 $B_2$ 的第 $2,3,\ldots,n$ 行都加到第 1 行，然后用-1 分别乘以第 $2,3,\ldots,n$ 行，矩阵 $B_2$ 变为

$$B_2=\left(\begin{array}{ccccc:ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{n-2}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \cdots & \frac{1}{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{n-1} & -\frac{n-2}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \cdots & \frac{1}{n-1} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & -\frac{n-2}{n-1} & \cdots & \frac{1}{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \cdots & -\frac{n-2}{n-1} \end{array}\right)$$

由此求得，$A^{-1}=(c_{ij})$，其中

$$\begin{cases} c_{ij}=\frac{1}{n-1}, & \text{当} 1 \leqslant i \neq j \leqslant n \text{时}; \\ c_{ii}=-\frac{n-2}{n-1}, & \text{当} i=1,2,\ldots,n \text{时} \end{cases}$$

解答 (方法三)：设 $J$ 为基础循环矩阵，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{J}+\boldsymbol{J}^2+\cdots+J^{n-1}$。设 $B=c\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{J}+J^2+\cdots+J^{n-1}$，其中 $c$ 为待定系数，则通过简单的计算可得

$$\boldsymbol{AB}=(n-1)\boldsymbol{I}_n+(c+n-2)(\boldsymbol{J}+\boldsymbol{J}^2+\cdots+\boldsymbol{J}^{n-1})$$

只要令 $c=2-n$，则 $\boldsymbol{AB}=(n-1)\boldsymbol{I}_n$，于是 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{n-1}\boldsymbol{B}$。

解答 (方法四)：设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,\cdots,1)^{\prime}$，则 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$。由 Sherman-Morrison 公式可得

$$\begin{aligned} A^{-1}=(-I_n+\alpha \alpha^{\prime})^{-1} &=(-I_n)^{-1}-\frac{1}{1+\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(-I_n)^{-1}\boldsymbol{\alpha}}(-I_n)^{-1}\alpha\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(-I_n)^{-1} \\ &=-I_n+\frac{1}{n-1}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\prime} \end{aligned}$$

习题 12

设

$$B=\left(\begin{array}{cc} 0 & B_1 \\ B_2 & 0 \end{array}\right)$$

其中 $B_1, B_2$ 分别是 $r$ 级、$s$ 级矩阵。求 $B$ 可逆的充分必要条件；当 $B$ 可逆时，求 $B^{-1}$。

解答：$|B|=(-1)^r|B_1||B_2|$。于是 $B$ 可逆 $\Leftrightarrow|B| \neq 0 \Leftrightarrow|B_1| \neq 0$ 且 $|B_2| \neq 0 \Leftrightarrow B_1, B_2$ 都可逆。 当 $B$ 可逆时，由于

$$\left(\begin{array}{cc} 0 & B_1 \\ B_2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & B_2^{-1} \\ B_1^{-1} & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I_r & 0 \\ 0 & I_s \end{array}\right)$$

因此

$$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & B_2^{-1} \\ B_1^{-1} & 0 \end{array}\right)$$

习题 13

(Frobenius 秩不等式) 证明: $\operatorname{rk}(RST) \geq \operatorname{rk}(RS)+\operatorname{rk}(ST)-\operatorname{rk}(S)$，前提是这些线性映射的合成有意义。

注：原题为矩阵版本。

证明：

$$\begin{aligned} &\text{应用}\\ &\qquad \begin{aligned} \operatorname{dim}(\operatorname{im}(RST)) &=\operatorname{dim}(\operatorname{im}(ST))-\operatorname{dim}(\operatorname{im}(ST) \cap \operatorname{ker}(R)) \\ &\geq \operatorname{dim}(\operatorname{im}(ST))-\operatorname{dim}(\operatorname{im}(S) \cap \operatorname{ker}(R)) \\ \operatorname{dim}(\operatorname{im}(RS)) &=\operatorname{dim}(\operatorname{im}(S))-\operatorname{dim}(\operatorname{im}(S) \cap \operatorname{ker}(R)) \end{aligned} \end{aligned}$$

习题 14

证明: (1) 若 $A$ 为可逆对称矩阵，则 $A^{-1}=(A^{-1})^T$；若 $|A|\neq0, A^T=-A$，则 $A^{-1}=-(A^{-1})^T$。 (2) 不存在奇数级可逆反对称矩阵。

证明：（未提供解答）

习题 15

证明: (1) 两个上 (下) 三角矩阵乘积仍是上 (下) 三角阵。 (2) 可逆上 (下) 三角矩阵的逆仍是上 (下) 三角矩阵。

证明：（未提供解答）

习题 16

设有 $n$ 阶矩阵 $A$，证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $PAP^{-1}$ 的后 $n-\operatorname{r}(A)$ 行全为零。

证明：（未提供解答）

习题 17

求证：任一 $n$ 阶方阵均可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和。

证明：设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\prime}$ 是对称阵，$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\prime}$ 是反对称阵，并且

$$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\prime})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\prime})$$

注：上例中的 $\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\prime})$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的对称化，$\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\prime})$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的反对称化。上述分解使得我们可以利用对称阵和反对称阵的众多性质去研究方阵的性质。

习题 18

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，证明：$\exists t \in \mathbb{R}$ 使得 $A+tI_n$ 可逆。

证明：（未提供解答）

习题 19

设 $A,B$ 为实方阵，证明：$A,B$ 在 $\mathbb{R}$ 上相似 $\Leftrightarrow$ $A,B$ 在 $\mathbb{C}$ 上相似。

证明：（未提供解答）