填空题（共 5 题，每题 3 分）

1. 设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) , \alpha_2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) , \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 当满足 $\underline{a \neq 5}$ 时，任意三维向量 $\alpha$ 必可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出.

2. 设 $A,B$ 分别为 $m \times n$ 和 $n \times s$ 的矩阵. 若 $r(AB)=n$ ，则 $r(B^T A^T)=\underline{n}$.

3. 设 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 是非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\beta$ 的通解. 其中 $k_1,k_2$ 为任意常数. 则 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 是 $Ax=\underline{3\beta}$ 的解.

4. 写出线性方程组 $A\mathbf{x}=0,B\mathbf{x}=0$ 同解的一个充要条件：$\underline{r\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}B\end{bmatrix}}$

5. $r(A+B) \underline{\leq} r(A)+r(B)$

选择题（共 5 题，每题 3 分）

1. 当 $n \geqslant 2$ 时, 求 $\left|\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & n\end{array}\right|$ ，则结果是 (C).

   A. $-2n!$ B. $-2(n+2)!$ C. $-2(n-2)!$ D. 0

2. $n$ 阶矩阵具有 $n$ 个不同的特征值是 $A$ 与对角阵相似的（B）条件.

   A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分与不必要

3. 设向量组 $A:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 可由向量组 $B:\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 线性表示，则 (A).

   A. 若 $s>t$, 则向量组 $A$ 线性相关 B. 若 $s<t$, 则向量组 $A$ 线性无关 C. 若 $s>t$, 则向量组 $A$ 线性无关 D. 若 $s<t$, 则向量组 $B$ 线性相关

4. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性空间 $V$ 的一组基则 (D) 是 $V$ 的另一组基.

   A. $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ B. $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3$ C. $\alpha_1, \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_2$ D. $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$

5. 设 $A,B$ 相抵，且 $A$ 有一个 $k$ 阶子式不等于 0，则 $r(B)$ \underline{B} $k$.

   A. = B. $\ge$ C. > D. $\le$

计算题（4 题，共 54 分）

1. 求 $\left|\begin{array}{llll}a^2 & (a+1)^2 & (a-2)^2 & (a+3)^2 \\ b^2 & (b+1)^2 & (b-2)^2 & (b+3)^2 \\ c^2 & (c+1)^2 & (c-2)^2 & (c+3)^2 \\ d^2 & (d+1)^2 & (d-2)^2 & (d+3)^2\end{array}\right|$

   解： 0.

2. 设线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$, 求 $\sigma$ 的特征值与特征向量，并判断 $\sigma$ 的矩阵是否可以在某一组基下为对角阵.

3. 设有线性方程组 $$\begin{cases} x_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0\ 2x_1+x_2+x_3+2x_4=0 \ 3x_1+(2+\lambda)x_2+(4+\mu) x_3+ 4x_4=1 \end{cases}$$ 已知 $\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ 是该方程组的一个解，试求：

   (1) 该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解.

   (2) 该方程组满足 $x_2=x_3$ 的全部解.

4. 数域 $F$ 上 $n$ 阶反对称矩阵全体 $V=\{A\in F^{n \times n};A^T=-A\}$, 按照通常的矩阵加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，请给出它的一组基.

证明题（2 题，每题 8 分）

1. 设 A 是 $n$ 阶方阵. 则 $|A|=0$ 的充要条件是存在非零矩阵 $B$, 使 $AB=0$.

2. 设 $A,B$ 为别为 $m \times n, n \times s$ 矩阵, 求证 $F^n$ 的子空间 $W=\{Bx;ABx=0\}$ 的维数等于 $r(B)-r(AB)$.

   证明： 将矩阵同构于线性映射: $U \stackrel{T}{\longrightarrow} V \stackrel{S}{\longrightarrow} W$

   其中 $T$ 与 $B$ 同构, $S$ 与 $A$ 同构.

   则有 $W=\operatorname{ker}(S) \cap \operatorname{im}(T)$,

   而

   $$\begin{aligned} \operatorname{r}(ST) &= \operatorname{dim}(\operatorname{im}(S|_{\operatorname{im}(T)})) \\ &= \operatorname{dim}(\operatorname{im}(T))-\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(S|_{\operatorname{im}(T)})) \\ &= \operatorname{dim}(\operatorname{im}(T))-\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(S) \cap \operatorname{im}(T)) \\ &= \operatorname{r}(T)-\operatorname{dim}(W) \end{aligned}$$

   故 $\operatorname{dim}(W)=\operatorname{r}(T)-\operatorname{r}(ST)=\operatorname{r}(B)-\operatorname{r}(AB)$