填空题(5题)

1. 矩阵 $\begin{pmatrix}1 & a & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix}$ 不是可逆矩阵, 则 $a$ 的值等于 ( )。

2. 设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵, $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-3$, 则 $|2 \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^{-1}|=($ )。

3. 求矩阵 $\begin{bmatrix}1 &2 &3\\ 2 &3 &0\\ 3 &0 &0\end{bmatrix}$ 的逆矩阵( )。

4. $n$阶实对称矩阵的维数为( )。

5. 已知某3阶矩阵的特征值为$1,2,4$,求其伴随矩阵的迹( )。

选择题(5题)

1. 包含$V_1,V_2$的最小子空间为( )。

计算题

1. 计算 $n$ 阶行列式:

   $$|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{vmatrix}$$

2. 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示：

   $$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3, \\ \boldsymbol{\beta}_2=3 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3, \\ \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3 . \end{array}\right.$$

   问 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是否线性无关?

3. a) 在四维行向量空间中求从基 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 到 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 的过渡矩阵，其中

   $$\begin{aligned} & \boldsymbol{e}_1=(1,1,0,1), \boldsymbol{e}_2=(2,1,2,0), \boldsymbol{e}_3=(1,1,0,0), \boldsymbol{e}_4=(0,1,-1,-1) \\ & \boldsymbol{f}_1=(1,0,0,1), \boldsymbol{f}_2=(0,0,1,-1), \boldsymbol{f}_3=(2,1,0,3), \boldsymbol{f}_4=(-1,0,1,2) \end{aligned}$$

   b) 设线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 , \varepsilon_3$ 下的矩阵为

   $$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}$$

   求$\sigma$的特征值与特征向量，并判断$\sigma$的矩阵是否可以在某一组基下为对角阵。

4. 求解下列线性方程组, 其中 $k$ 为参数:

   $$\left\{\begin{array}{l} k x_1+x_2+x_3=-2, \\ x_1+k x_2+x_3=-2, \\ x_1+x_2+k x_3=-2 . \end{array}\right.$$

5. 设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1,0), \boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,2,1), \boldsymbol{\alpha}_3=(2,1,0,1)$ 是四维实行向量空间 $V$ 中的向量, 它们生成的子空间为 $V_1$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1,1), \boldsymbol{\beta}_2=(1,-1,-3,-1), \boldsymbol{\beta}_3=(-1,1,-1,1)$ 生成的子空间为 $V_2$, 求子空间 $V_1+V_2$ 和 $V_1 \cap V_2$的基。

证明题(1题，8分)

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵, 求证:

$$\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A} \end{vmatrix}=|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}||\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}|$$