problem

讨论方程组

$$\begin{cases} \frac{d x}{d t}=y \\ \frac{d y}{d t}=-a y-b \sin x \end{cases} \quad(a b \neq 0)$$

零解的稳定性。

solution

确定平衡点

令 $\frac{dx}{dt} = 0$ 和 $\frac{dy}{dt} = 0$，得：

$$\begin{cases} y = 0 \\ -a \cdot 0 - b \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{cases}$$

平衡点为 $(k\pi, 0)$。题目要求讨论 零解 $(0,0)$ 的稳定性。

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线性化系统

在平衡点 $(0,0)$ 附近进行泰勒展开，保留一阶项：

• $\sin x \approx x$（线性近似）
• 原方程组线性化为：

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt} = y \\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = -a y - b x \end{cases}$$

对应的系数矩阵为：

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -b & -a \end{pmatrix}$$

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特征值分析

求矩阵 $A$ 的特征方程：

$$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + a\lambda + b = 0$$

解得特征值：

$$\lambda = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$$

参数分情况讨论

情况1：$a > 0$ 且 $b > 0$

• 实根情形（$a^2 > 4b$）： 两根均为负实数（根和为 $-a < 0$，根积为 $b > 0$）。
• 复根情形（$a^2 < 4b$）： 实部为 $-a/2 < 0$，虚部非零，系统为稳定焦点。
• 临界情形（$a^2 = 4b$）： 重根 $\lambda = -a/2 < 0$，系统稳定结点。

结论：零解 渐近稳定。

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情况2：$a > 0$ 但 $b < 0$

• 特征方程根积 $b < 0$，必有一正一负实根。
• 结论：零解 不稳定。

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情况3：$a < 0$

• 无论 $b$ 的符号：
  • 实根时至少一个正根（根和为 $-a > 0$）。
  • 复根时实部为 $-a/2 > 0$。
• 结论：零解 不稳定。

problem

对方程组

$$\begin{cases} \frac{d x}{d t}=y-x f(x, y) \\ \frac{d y}{d t}=-x-y f(x, y) \end{cases}$$

其中 $f(x, y)$ 有一阶连续偏导数，

（1）证明：$(0,0)$ 是其唯一的平衡点。

（2）证明：当 $f(x, y)$ 在原点某领域内恒正时，零解是渐近稳定的；当 $f(x, y)$ 在原点某领域内恒负时，零解是不稳定的。

proof

(1) 证明 $(0,0)$ 是唯一平衡点

步骤1：平衡点定义 平衡点满足：

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt} = y - x f(x, y) = 0 \\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = -x - y f(x, y) = 0 \end{cases}$$

步骤2：联立方程求解 由第一式得：

$$y = x f(x, y) \tag{1}$$

代入第二式：

$$-x - y f(x, y) = 0 \implies -x - x [f(x, y)]^2 = 0 \implies x (1 + [f(x, y)]^2) = 0$$

由于 $1 + [f(x, y)]^2 \geq 1 > 0$，唯一解为 $x = 0$。代入式 (1) 得 $y = 0$。

结论 唯一平衡点为 $(0,0)$。

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(2) 零解的稳定性分析

步骤1：构造 Lyapunov 函数 定义正定函数：

$$V(x, y) = x^2 + y^2$$

步骤2：计算沿轨道的导数

$$\begin{aligned} \frac{dV}{dt} &= 2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} \\ &= 2x(y - x f) + 2y(-x - y f) \\ &= 2xy - 2x^2 f - 2xy - 2y^2 f \\ &= -2f(x^2 + y^2) \end{aligned}$$

步骤3：分情况讨论

• 当 $f(x, y) > 0$ 在原点附近时$\frac{dV}{dt} = -2f(x^2 + y^2) < 0$（除原点外严格负）， 零解 渐近稳定。

• 当 $f(x, y) < 0$ 在原点附近时$\frac{dV}{dt} = -2f(x^2 + y^2) > 0$（除原点外严格正）， 零解 不稳定。