problem 1

求解 $\frac{d y}{d x}=y \ln x$

solution

将方程中的变量 $y$ 和 $x$ 分离开来：

$$\frac{1}{y} dy = \ln x \, dx$$

两边积分，有:

$$\ln |y| = x \ln x - x + C$$

此即为通解，其中 $C$ 为任意常数。 另有解

$$y=0.$$

problem 2

求解 $\tan y d x-\cot x d y=0$

solution

若 $\sin y,\cos x$ 均不为零，则 $\mathrm{d}(\cos x \sin y)=-\sin{x}\sin{y}\mathrm{d}x+\cos x \cos y \mathrm{d}y=0,$ 故其通解为 $\cos x \sin y=C,$ 其中 $C$ 为任意常数。 若 $\sin y =0$ 或 $\cos x=0,$ 则解为 $y=k \pi$ 或 $x=\frac{\pi}{2}+k \pi,k \in \mathbb{Z}.$

problem 3

求解初值问题 $\begin{cases}(x^2-1) y'+2 x y^2=0, \\ y(0)=1\end{cases}$

solution

当 $y \neq 0, x^2-1 \neq 0$ 时，方程变为

$$-\frac{\mathrm{d} y}{y^2}=\frac{2 x \mathrm{~d} x}{(x^2-1)}$$

积分得

$$\frac{1}{y}=\ln |x^2-1|+C$$

在通解中代入初值 $y(0)=1$ ，有 $C=1$ ．所求特解为 $y= \frac{1}{\ln |x^2-1|+1}$.

problem 4

求解 $(2 x-4 y+6) d x+(x+y-3) d y=0$

solution

作变换

$$x=\xi+1, \quad y=\eta+2$$

有

$$\frac{\mathrm{d} \eta}{\mathrm{~d} \xi}=\frac{4 \eta-2 \xi}{\xi+\eta}$$

再作变换 $u=\frac{\eta}{\xi}$ ，有

$$u+\xi \frac{d u}{d \xi}=\frac{4 u-2}{1+u}$$

变量分离，有

$$\frac{u+1}{(u-1)(u-2)} d u=-\frac{d \xi}{\xi} \quad(u \neq 1,2)$$

两边积分，有

$$(u-2)\left(\frac{u-2}{u-1}\right)^2 \xi=C$$

回代，得原方程通解

$$(y-2 x)^3=C(y-x-1)^2$$

若 $u=1, u=2$ ，即 $y=x+1, y=2 x,$ 则还有解 $y=x+1.$

problem 5

求解 $y \ln y d x+(x-\ln y) d y=0$

solution

将方程变形为

$$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}+\frac{x}{y \ln y}=\frac{1}{y}$$

所求通解为

$$\begin{aligned} x & =\mathrm{e}^{-\int \frac{1}{y \ln y} d y}\left[\int \frac{1}{y} \mathrm{e}^{\int \frac{1}{y \ln y} d y} \mathrm{~d} y+C\right] \\ & =\frac{1}{\ln y}\left[\int \frac{\ln y}{y} \mathrm{~d} y+C\right]=\frac{\ln y}{2}+\frac{C}{\ln y} \end{aligned}$$

另有解

$$y=1.$$

problem 6

求解 $x d y-\left(y+x y^3(1+\ln x)\right) d x=0$

solution

令 $z=y^{-2}$ ，得

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}(y^{-2})}{\mathrm{d} x}+\frac{2}{x} y^{-2} & =-2(1+\ln x) \end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} y^{-2} & =\frac{1}{x^2}\left[C-\frac{2}{3} x^3 \ln x-\frac{4}{9} x^3\right] \end{aligned}$$

所求通解为

$$\frac{1}{y^2}=\frac{C}{x^2}-\frac{2}{3} x \ln x-\frac{4}{9} x$$

problem 7

求解 $(\ln y+2 x-1) d y-2 y d x=0$

solution

化为一阶线性微分方程

$$\frac{d y}{d x}-\frac{1}{y} x=\frac{(\ln y-1)}{2 y}$$

解得：

$$\begin{aligned} x & =-\frac{\ln y}{2}+C y \end{aligned}$$