problem

设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是三维欧氏空间的一组标准正交基，$\alpha=3\alpha_{1}+2\alpha_{2}+4\alpha_{3},\beta=\alpha_{1}-2\alpha_{2}.$

1. 求与 $\alpha,\beta$ 都正交的全部向量；
2. 求与 $\alpha,\beta$ 都正交的全部单位向量。

solution

问题 1：求与 $\alpha, \beta$ 都正交的全部向量

步骤 1：设所求向量为 $\gamma = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$ 根据正交条件，有：

$$\begin{cases} \gamma \cdot \alpha = 0 \\ \gamma \cdot \beta = 0 \end{cases}$$

步骤 2：计算内积方程

1. $\gamma \cdot \alpha = 3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0$
2. $\gamma \cdot \beta = x_1 - 2x_2 = 0$

步骤 3：解线性方程组 由第二个方程得 $x_1 = 2x_2$，代入第一个方程：

$$3(2x_2) + 2x_2 + 4x_3 = 0 \implies 8x_2 + 4x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_2.$$

通解为：

$$\gamma = x_2(2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3), \quad x_2 \in \mathbb{R}.$$

结论：

$$\boxed{\text{全部向量为 } t(2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3),\ t \in \mathbb{R}}$$

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问题 2：求与 $\alpha, \beta$ 都正交的全部单位向量

步骤 1：计算基础向量的模长 向量 $2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3$ 的模长为：

$$\|2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

步骤 2：单位化 单位向量为：

$$\pm \frac{1}{3}(2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3).$$

结论：

$$\boxed{\text{全部单位向量为 } \pm \frac{1}{3}(2\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3)}$$

problem

设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是三维欧氏空间 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 6\end{pmatrix}.$

1. 令 $\gamma_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2},$ 证明 $\gamma_{1}$ 是一个单位向量。
2. 求参数 $k,$ 使 $\beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+k\alpha_{3}$ 与 $\gamma_{1}$ 正交。
3. 把 $\beta_{2}$ 单位化，记作 $\gamma_{2}.$
4. 扩充 $\gamma_{1},\gamma_{2}$ 为 $V$ 的一组标准正交基。

solution

问题 1：证明 $\gamma_1 = \alpha_1 + \alpha_2$ 是单位向量

步骤 1：计算 $\gamma_1$ 的模长 由度量矩阵 $A$，内积 $(\alpha_i, \alpha_j)$ 对应矩阵元素 $A_{ij}$，故：

$$\begin{aligned} \|\gamma_1\|^2 &= (\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2) \\ &= (\alpha_1, \alpha_1) + 2(\alpha_1, \alpha_2) + (\alpha_2, \alpha_2) \\ &= 1 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1. \end{aligned}$$

结论：

$$\boxed{\gamma_1 \text{ 是单位向量}}$$

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问题 2：求参数 $k$ 使 $\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2 + k\alpha_3$ 与 $\gamma_1$ 正交

步骤 1：正交条件 要求 $(\gamma_1, \beta_2) = 0$，即：

$$(\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + k\alpha_3) = 0.$$

步骤 2：展开内积 利用度量矩阵计算：

$$\begin{aligned} (\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2) &= 1 \quad (\text{已证}) \\ (\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_3) &= (\alpha_1, \alpha_3) + (\alpha_2, \alpha_3) = 2 + (-1) = 1. \end{aligned}$$

因此：

$$1 + k \cdot 1 = 0 \implies k = -1.$$

结论：

$$\boxed{k = -1}$$

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问题 3：将 $\beta_2$ 单位化为 $\gamma_2$

步骤 1：计算 $\beta_2$ 的模长 当 $k = -1$ 时，$\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$，其模长为：

$$\begin{aligned} \|\beta_2\|^2 &= (\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3, \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3) \\ &= 1 + 2(-1) + 2 - 2(2) - 2(-1) + 6 \\ &= 1 - 2 + 2 - 4 + 2 + 6 = 5. \end{aligned}$$

步骤 2：单位化

$$\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3).$$

结论：

$$\boxed{\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3)}$$

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问题 4：扩充 $\gamma_1, \gamma_2$ 为标准正交基

步骤 1：求与 $\gamma_1, \gamma_2$ 正交的向量 设 $\gamma_3 = a\alpha_1 + b\alpha_2 + c\alpha_3$，满足：

$$\begin{cases} (\gamma_3, \gamma_1) = 0 \\ (\gamma_3, \gamma_2) = 0 \end{cases}$$

解得：

$$\gamma_3 = t(-7\alpha_1 - 2\alpha_2 + 2\alpha_3), \quad t \in \mathbb{R}.$$

步骤 2：单位化 $\gamma_3$ 计算模长：

$$\|-7\alpha_1 - 2\alpha_2 + 2\alpha_3\|^2 = 49(1) + 28(-1) + (-28)(2) + 4(2) + 8(-1) + 4(6) = 5.$$

取 $t = \frac{1}{\sqrt{5}}$，得：

$$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-7\alpha_1 - 2\alpha_2 + 2\alpha_3).$$

结论：

$$\boxed{V \text{ 的标准正交基为 } \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3}$$

其中：

$$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-7\alpha_1 - 2\alpha_2 + 2\alpha_3).$$

problem

求一正交相似变换矩阵，将矩阵 $A$ 化为对角矩阵，其中 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

solution

求矩阵 $A$ 的特征值：

解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda) [(1-\lambda)^2 - 4] = (3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 3)$$

分解得：

$$(3-\lambda)(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0 \implies \lambda_1 = 3 \, (\text{二重根}), \quad \lambda_2 = -1.$$

求特征向量并正交化：

• 特征值 $\lambda = 3$： 解 $(A - 3I)\mathbf{v} = 0$，得基础解系：

  $$\mathbf{v}_1 = (1, 0, 1), \quad \mathbf{v}_2 = (0, 1, 0).$$

  二者已正交，单位化后：

  $$\mathbf{q}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \quad \mathbf{q}_2 = (0, 1, 0).$$

• 特征值 $\lambda = -1$： 解 $(A + I)\mathbf{v} = 0$，得基础解系：

  $$\mathbf{v}_3 = (-1, 0, 1).$$

  单位化后：

  $$\mathbf{q}_3 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

  验证正交性： $\mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_3 = 0$，$\mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{q}_3 = 0$。

构造正交矩阵 $Q$：

将单位正交化的特征向量按列排列：

$$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

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最终结论：

正交相似变换矩阵为：

$$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix},$$

使得 $Q^T A Q = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。 （特征值排列顺序与 $Q$ 的列向量对应）

problem

已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2tx_{2}x_{3}(t > 0)$ 通过正交线性替换化为标准型 $f=y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+5y_{3}^{2},$ 求参数 $t$ 及所用的正交线性替换。

solution

步骤 1：写出二次型对应的矩阵 原二次型矩阵为：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & t \\ 0 & t & 3 \end{pmatrix}.$$

标准型对应的对角矩阵为：

$$D = \operatorname{diag}(1, 2, 5).$$

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步骤 2：求特征值并确定参数 $t$ 矩阵 $A$ 的特征方程为：

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)[(3 - \lambda)^2 - t^2] = 0.$$

解得特征值为：

$$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_{2,3} = 3 \pm t.$$

根据标准型特征值 $1, 2, 5$，需满足：

$$3 + t = 5 \quad \text{且} \quad 3 - t = 1 \implies t = 2.$$

验证： 当 $t = 2$ 时，$A$ 的特征值为 $1, 2, 5$，与标准型一致。

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步骤 3：求正交变换矩阵 $Q$ 对每个特征值求单位正交特征向量：

1. 特征值 $\lambda = 1$ 解 $(A - I)v = 0$：

   $$\begin{cases} 0 \cdot x = 0 \\ 2y + 2z = 0 \implies y = -z \end{cases}$$

   取特征向量 $v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, -1)$.

2. 特征值 $\lambda = 2$ 解 $(A - 2I)v = 0$：

   $$\begin{cases} x \text{ 任意} \\ y = 0, \ z = 0 \end{cases}$$

   取特征向量 $v_2 = (1, 0, 0)$.

3. 特征值 $\lambda = 5$ 解 $(A - 5I)v = 0$：

   $$\begin{cases} 0 \cdot x = 0 \\ -2y + 2z = 0 \implies y = z \end{cases}$$

   取特征向量 $v_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1)$.

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步骤 4：构造正交矩阵 $Q$ 将特征向量按特征值 $1, 2, 5$ 排列为列向量：

$$Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

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正交线性替换 变换关系为 $x = Qy$，即：

$$\begin{cases} x_1 = y_2 \\ x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}y_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_3 \\ x_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}}y_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_3 \end{cases}.$$

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结论：

• 参数 $t = 2$
• 正交替换矩阵 $Q$ 如上所示 通过此替换，二次型 $f$ 化为标准型 $y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2$。

problem

已知 $A,A-E$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，证明 $E-A^{-1}$ 是正定矩阵。

proof

步骤 1：分析矩阵 $A$ 的特征值

1. 由于 $A$ 是正定矩阵，其特征值 $\lambda_i$ 均为正数，即 $\lambda_i > 0$。

2. 由于 $A - E$ 也是正定矩阵，其特征值为 $\lambda_i - 1$，因此有：

   $$\lambda_i - 1 > 0 \implies \lambda_i > 1 \quad (\forall i).$$

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步骤 2：推导 $A^{-1}$ 的特征值

1. $A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda_i}$，且由 $\lambda_i > 1$ 可知：

   $$0 < \frac{1}{\lambda_i} < 1 \quad (\forall i).$$

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步骤 3：计算 $E - A^{-1}$ 的特征值

1. 矩阵 $E - A^{-1}$ 的特征值为 $1 - \frac{1}{\lambda_i}$。

2. 由于 $\lambda_i > 1$，故：

   $$1 - \frac{1}{\lambda_i} > 0 \quad (\forall i).$$

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步骤 4：验证对称性与正定性

1. 对称性： $A$ 是正定矩阵，故对称；$A^{-1}$ 亦对称，因此 $E - A^{-1}$ 是对称矩阵。
2. 正定性： $E - A^{-1}$ 的所有特征值均为正数，且矩阵对称，故 $E - A^{-1}$ 是正定矩阵。

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关键结论：

• 特征值分析：$\lambda_i > 1 \implies 1 - \frac{1}{\lambda_i} > 0$。
• 对称性保证：$E - A^{-1}$ 是对称矩阵。
• 正定性判定：所有特征值为正且矩阵对称，故 $E - A^{-1}$ 正定。

因此，$E - A^{-1}$ 是正定矩阵。